工具箱软件，提升工作效率的秘密武器
梦幻之 1周前 (04-16) 265 浏览
工具箱软件是提高工作效率的关键利器，它集成了多种实用功能，如文件管理、数据备份和系统优化等，为用户提供了一站式的解决方案，这些软件通常具有简洁的用户界面和强大的功能，能够满足不同场景下的需求，通过使用工具箱软件，用户可以轻松地完成日常任务，节省时间和精力，从而更加专注于核心工作，无论是个人还是企业用户，都可以从中受益匪浅。
这张图片展示了一道数学题目,具体内容为：
已知函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\cos 2x$，求证：$\left|f(x)\right|\leqslant 1$
图中还有手写的解答过程,但是比较潦草难以辨认。
以下是该题目的解答过程：
我们考虑函数$f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\cos 2x$的性质，为了证明$|f(x)|\leqslant 1$,我们可以先分析函数的值域。
我们知道，对于任意的$x$，有$-1\leq \sin x\leq 1$ 和 $-1\leq \cos 2x\leq 1$。
让我们将这两个不等式结合起来，由于 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$，我们有： $$-1 \leq 1 - 2\sin^2 x \leq 1.$$ 这可以简化为： $$0 \leq 2\sin^2 x \leq 2,$$ 进一步得到： $$0 \leq \sin^2 x \leq 1.$$ $-\sin x \leq \sin x \leq \sin x$，这意味着 $\sin x$ 的取值范围是 $[-1, 1]$。
我们将 $\sin x$ 和 $\cos 2x$ 的值域结合起来考虑 $f(x)$ 的值域，由于 $\sin x$ 和 $\cos 2x$ 都在区间 $[-1, 1]$ 内，它们的线性组合也在这个范围内，我们有： $$-1 \leq f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\cos 2x \leq 1.$$
我们证明了对于所有的 $x$，都有 $|f(x)|\leqslant 1$ 成立。
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